微积分/数学分析笔记四（积分）
\(\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}\) \(\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}^+}\) \(\newcommand{\Lim}{\lim\limits_}\) \(\newcommand{\Sum}{\sum\limits_}\) \(\newcommand{\eps}{\varepsilon}\) \(\newcommand{\Colon}{\colon\;\;}\)
数分肯定是学不动了，所以按微积分的学习进程来，但是概念可能只要参考数分。
一些理论
黎曼积分
对于闭区间 \([a, b]\) ，选取有限的若干点
\[ a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b \]
称为该区间的一个分割 \(P\) 。\(\lambda(P) = \max\{x_i - x_{i-1}\}\) 称为分割参数。
选取 \(n\) 个标记点 \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\) ，称 \((P, \xi)\) 构成一个标记分割。
令集合 \(\mathcal P\) 表示所有标记分割的集合。令集合族 \(\mathcal B\) 包含所有集合 \(B_d = \{(P, \xi) | \lambda(P) < d\}\) 其中 \(d > 0\) 。那么 \(\mathcal B\) 是一个滤子基。
为了方便直接用 \(\lambda(P) \to 0\) 表示这个滤子基。
对于在 \([a, b]\) 有定义的函数 \(f\) 。定义积分和为
\[ \phi(P, \xi) := \sum_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i - x_{i-1}) \]
那么黎曼积分可以定义为：
\[ \int_a^b f(x) dx := \Lim{\lambda(P) \to 0} \phi(P, \xi) \]
黎曼可积
用 \(\mathcal R[a, b]\) 表示所有在 \([a, b]\) 上黎曼可积的函数。
如果 \(f \in \mathcal R[a, b]\) 那么 \(f\) 在 \([a, b]\) 上一定有界。即可积必有界。
\(\mathcal C[a, b] \subset \mathcal R[a, b]\) 。即连续必可积。必区间上的单调函数也一定可积。
对于 \([a, b]\) 上的函数 \(f\) ，定义小积分和，大积分和分别为
\[ \begin{aligned} & s(P) := \sum_{i=1}^n \inf_{[x_{i-1}, x_i]} f(x) (x_i - x_{i-1}) \\ & S(P) := \sum_{i=1}^n \sup_{[x_{i-1}, x_i]} f(x) (x_i - x_{i-1}) \\ \end{aligned} \]
那么 \(s(P) = \inf\limits_{\xi} \phi(P, \xi)\) 以及 \(S(P) = \sup\limits_{\xi} \phi(P, \xi)\) 。
下积分和上积分定义为
\[ \begin{aligned} & \underline\int_a^b f(x) dx := \lim_{\lambda(P) \to 0} s(P) \\ & \overline\int_a^b f(x) dx := \lim_{\lambda(P) \to 0} S(P) \\ \end{aligned} \]
在 \([a, b]\) 上有界的函数 \(f\) 黎曼可积当且仅当上下积分相等。此时黎曼积分的值也与上下积分相等。
定义振幅 \(\omega(f, E) := \sup\limits_{x_1, x_2 \in E} \lvert f(x_1) - f(x_2) \rvert\) 。
在 \([a, b]\) 上有界的函数 \(f\) 黎曼可积当且仅当
\[ \Lim{\lambda(P) \to 0} \sum_{i=1}^n \omega(f, [x_{i-1}, x_i]) (x_i - x_{i-1}) = 0 \]
\(\bbR\) 的子集 \(E\) 是零测度集当且仅当对于任意小的正数 \(\eps\) 都可以找到至多可数个开区间覆盖 \(E\) 且这些开区间的长度和不超过 \(\eps\) 。
- 至多可数的集合是零测度集。
- 至多可数的零测度集的并集是零测度集。
- 零测度集的子集是零测度集。
如果某种性质在集合 \(X\) 上不成立的点构成零测度集，则称该性质在 \(X\) 上几乎处处成立。
闭区间上的函数黎曼可积当且仅当有界且几乎处处连续（勒贝格准则）。
闭区间上两个几乎处处相等的函数积分值相同或者同时不可积。
积分的性质
如果 \(a > b\) 可以定义 \(\int_a^b f(x)dx := -\int_b^a f(x)dx\) 。自然的有 \(\int_a^a f(x)dx := 0\) 。
\[ \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx \]
\[ \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx = \int_a^c f(x)dx \]
如果 \(f(x) \le g(x)\) 在 \([a, b]\) 总是成立那么
\[ \int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx \]
积分第一中值定理：若 \(f, g \in \mathcal R[a, b]\) 且 \(g\) 在 \([a, b]\) 上非负或非正。那么
\[ \int_a^b f(x) g(x) dx = \mu \int_a^b g(x) dx \]
其中 \(\inf f(x) \le \mu \le \sup f(x)\) ，如果 \(f \in C[a, b]\) 那么 \(\mu = f(\xi), \xi \in [a, b]\) 。
取 \(g(x) = 1\) 即
\[ \int_a^b f(x) dx = \mu (b - a) \]
\(f\) 在 \(x_0\) 处的泰勒展开的余项可以表示为积分形式：
\[ r_n(x_0 ; x) = \frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \]
原函数
在区间 \(I\) 上若 \(F'(x) = f(x)\) 则称 \(F\) 是 \(f\) 在 \(I\) 上的原函数。
若 \(F_1\) 和 \(F_2\) 都是 \(f\) 的原函数那么 \(F_1 - F_2\) 是常函数。
求原函数的运算称为不定积分
\[ \int f(x)dx = F(x) + C \]
有时也简记为 \(\int f\) 。不定积分 \(\int\) 是微分 \(d\) 的逆运算。
若 \(f \in C[a, b]\) 或者 \(f \in C(a, b)\) 那么 \(f\) 一定有原函数
\[ F(x) = \int_a^x f(t) dt + C \]
微积分学基本定理：
如果 \(f \Colon [a, b] \to \bbR\) 只有有限个间断点并有界，则 \(f \in \mathcal R[a, b]\) 且
\[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(x) |_a^b \]
其中 \(F\) 是 \(f\) 在 \([a, b]\) 的任意一个原函数。