拉格朗日反演

拉格朗日反演常用于提取一个幂级数 \(A(x)\) 的 \(n\) 次项系数。

对于常数项为 0 ，一次项非零的幂级数 \(A(x)\) ，设其复合逆为 \(F(x)\) ，有

\[[x^n] A(x) = \frac{1}{n} [x^{n-1}] (\frac{x}{F(x)})^n\]

举例，对于 \(A(x) = x e^{A(x)}\) 求 \([x^n]A(x)\) ，直接从等式下手解 \(A(x)\) 比较麻烦，试试拉格朗日反演。

将其复合逆 \(F(x)\) 代入等式，得到 \(x = F(x) e^x\) ，因此 \(F(x) = \frac{x}{e^x}\) 。

于是 \([x^n] A(x) = \frac{1}{n} [x^{n-1}] e^{nx} = \frac{n^{n-1}}{n!}\) 。

另外如果 \(A(x)\) 常数项不为 0 或者一次项为 0 等等，乘个 \(x\) 的整次幂总能转换到一般的情况。

证明

咕咕咕。

扩展

咕咕咕。