《数学分析》笔记一(集合论与实数)
一些理论
朴素的集合论,即康托尔集合论,存在逻辑上的基本矛盾,例如经典的罗素悖论。
朴素集合论的基本前提可归结为:
- 集合可由任何有区别的对象组成。
- 集合由其组成对象整体唯一确定。
- 任何性质都确定一个具有该性质的对象的集合。
那么对于集合
ZFC 集合论给出了一组公理严格定义了集合,这些公理更像是一些集合的标准构造方式,使得集合都能通过这些公理被构造出来,而所谓的“所有集合构成的集合”是不能被构造出来的。
需要注意的是,每个数都有与之对应的集合的模型。
具有自反性,传递性,对称性的关系
具有自反性,传递性,反对称性的关系
对于关系
具有自反性 。 具有传递性 。 具有对称性 。 具有反对称性 。
对于映射
是满射当且仅当 是单射当且仅当 。 是双射当且仅当 同时是满射和单射。
单射具有左逆映射(不一定唯一),满射具有右逆映射(不一定唯一),双射具有唯一的逆映射。
对于两个集合
使得 是一个双射。 。
容易证明这里的
因此这事实上这个关系是 线性序 ,可以定义
有限集的势严格小于
完备性公理等价于上(下)确界引理:实数
完备性公理可导出阿基米德原理:对任意正数
需要注意的是阿基米德原理等价于自然数集无上界。而不满足完备性公理的有理数集是满足阿基米德原理的,因为“自然数集无有理数上界”这个命题并不依赖于完备性公理。
完备性公理等价于聚点定理:任意无穷有界实数集存在至少一个极限点。其中实数
完备性公理等价于闭区间套原理:任意闭区间套组成的序列存在至少一个公共点。
一些习题
定义有序对
Answer
充分性:
由
由
进一步可以知道
必要性:
用集合表示自然数,
Answer
利用数学归纳法,
设
利用反证法,假设存在双射
容易发现,
设非空实数集
Answer
根据完备性公理,存在
同理可以得到
证明对任意
Answer
设
根据阿基米德原理:
设
产生矛盾,因此
若
产生矛盾,因此
证明聚点定理蕴含完备性公理。
(需要注意的是很多看似显而易见的结论都是完备性公理的推论,在证明中需要避开直接使用这些推论。)
Answer
对于非空集合
定义闭区间套
其中
- 引理一:任意
都是 的下界。
若
命题显然成立,不妨假设 ,此时对任意 都有 。 定义自然数集
是不满足条件的 的集合,假设 非空。自然数集的非空子集一定存在最小值,考察 。
,矛盾,因此 。
与 的最小性矛盾,因此 。 根据该闭区间套的定义,
,那么 。 因此
是 的一个下界,矛盾。综上所述 ,因此原命题成立。
- 引理二:
不存在上界。
由于
有下界 ,假设 存在上界,那么就一定存在极限点 。 考察其邻域
,定义 。 根据极限点的定义
是无穷集。自然数集的非空子集一定存在最小值,考察 ,那么 。 由于
和 之间不存在其他自然数, 除了 以外不包含其他自然数,与其无穷性矛盾。
- 引理三:
。
若存在不满足条件的
,则 。 不难归纳证明对任意自然数
有 成立。根据引理而二
产生矛盾,因此所有
都满足条件。
定义集合
考虑
假设
那么闭区间套中存在
考虑
- 引理:
。
若
,对于 ,邻域 不满足极限点定义。 若
,对于 ,邻域 不满足极限点定义。 因此
。定义 ,若 非空,存在 。 若
,邻域 不满足极限点定义。 若
,邻域 不满足极限点定义。 因此
,即 是 的上界。 若
,邻域 不满足极限点定义,因此 是 的下界。
假设
这与
证明任意无穷集合存在可数子集。
Answer
对于无穷集合
由于
证明任意无穷集合与可数集合的并集与原集合等势。
Answer
对于无穷集合
由于
可数集与至多可数集的并集为可数集(教材原定理,证略),即存在双射
另外显然存在双射
证明对任意集合
Answer
若存在双射
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